参数全局敏感度分析及其在确定性复杂动态系统建模的应用

进入20世纪以来,随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,信息技术的发展特别是电子计算机的出现与飞速发展,数学建模越来越受到人们的重视,数学模型本身越来越广泛地作为一种主要工具来帮助人们分析理解各个领域的实际系统。以确定性方式构造符合真实系统特性的模型不仅具有重要的理论意义,而且具有潜在的实际应用价值。确定性模型是目前建模工作的一大类,它有许多重要的优点：人们可以更容易在建模的过程当中专注于解析系统的本质特性。确定性模型所得结果可以用来间接验证随机模型与方法的正确性,从而对随机模型的进一步深入研究起着促进与推动作用。确定性动态系统模型是研究自然界规律的最常见的一种模型。敏感度分析的定义来自：研究模型输出的不确定性组成(数值的或者其他的)应该如何定性或者定量追溯到模型的各种不确定性输入因素。自然现象的抽象和建模,总是会面临着不确定性因素,而这些不确定小因素正是建模者应该在建模的时候定性或定量认真考虑的因素,敏感性分析是模型建立质量保证的一个重要步骤。在敏感度分析最初基本概念提出的初期,除了在经济模型分析领域,在其它建模领域并没有得到应有的重视。所主要使用的方法也是最为简单的局部分析方法。20世纪90年代,敏感度分析的几大重要方法的提出使得敏感度分析这一重要模型分析工具迅速扩展到了经济模型分析以外的领域,并让越来越多的建模研究者认识到它的重要性。随着数学模型越来越紧密地与各个前沿学科领域结合而派生出越来越多的生机勃勃的交叉学科领域,进入21世纪以来,敏感度分析的重要性越来越被频繁地在各学科的建模工作中提及。在生态建模,农业研究,化学分析等等领域,都有广泛的应用背景。为此,本文拟在法国国家信息与自动化研究院(INRIA Saclay Ile-de-France),巴黎中央理工(Ecole Centrale Paris)联合武汉大学提供的CORIDS奖学金资助下,开展研究全局敏感度分析的重要问题极其在复杂的确定性动态系统模型的应用研究。具体到复杂的确定性动态系统模型研究实例,则是植物模型中最为典型的一类植物功能结构型模型FSPM。解决的主要问题有以下三个方面：第一,对于单独的敏感度分析方法而言,全局敏感度分析方法不受模型形式的影响,从而不要求模型的线性度和可加性,因而可以应用于各种复杂的模型中。但是,它的主要缺点是往往计算量要求却很大。基于方差分解的Sobol方法则是目前重要的而且广泛使用的全局敏感度分析方法。Sobol的高阶敏感度分析系数能够帮助我们把模型的“黑盒子”变成透明的盒子,看到内部的相互关联机制,进而辅助我们做模型诊断。基于这样的重要意义,Sobol算法一直是敏感度分析界举足轻重的研究领域。然而Sobol方法所需的计算量却很大。一方面,我们希望用全局敏感度分析如Sobol算法来定量寻找模型中重要的参数交互作用,另一方面,复杂动态系统的特性确决定了敏感度分析系数的计算效率度是亟待解决的问题。本文在Sobol敏感度系数的数值计算问题上,提出一种新的高效的算法,从而改进Sobol-阶和总阶系数的计算效率问题。并在此基础上推导计算误差的理论值,从而给出跟输入参数维度k和抽样数N直接相关的误差估计,使得Sobol敏感度系数的计算更能够在误差范围内优化选取抽样数。基于解析方程的算法测试结果说明,推导的计算误差理论上限能够更好的估计Sobol一阶和总阶系数在蒙特卡洛仿真算法中的误差,因而为判断结果是否收敛提供理论依据。通过这个误差上限,也证明了本文提出的高效算法是有效的。第二,一个好的敏感度分析实践不仅仅需要有效的算法算子给出准确的参数敏感度系数,也需要综合考虑不同算法的局限性,系统应用不同算法的特性,使算法之间的结果互相应证,相互补充,最终使得基于敏感度分析的结论可靠稳定。对应敏感度分析的四大目标原则参数优先(Factor Prioritization, FP),参数固定(Factor Fixing, FF),方差消减(Variance Cutting, VC),参数映射(Factor Mapping, FM),本文提出复杂动态系统的全局敏感度分析策略系统方法,特别是针对本文的研究实例之复杂的生物生理模型给出分模块分析策略,来研究模型中的生物生理过程之间的相互作用,进行模型简化。针对参数筛选时,动态系统的敏感度分析结果往往是一个矢量而没有一个唯一的敏感度系数来表征参数的问题,提出了“时间一般性”系数(Time Generalized Index, TGI)的处理方法。以“时间一般性”系数为标准做参数筛选,选出来的系数即是那些不仅在某个时间段排序靠前的敏感参数,也是从时间轴上来说,这种高度敏感影响持续一个相对长的时间段的参数。TGI处理后的参数敏感度系数,非常适用于参数筛选。第三,在方法论研究基础上,充分对于选取的三个具有不同复杂度的FSPM实例模型进行分析,并从不同角度对于敏感度分析的结果可视化,尝试整合不同敏感度分析方法所给出的有用信息,并基于这些信息探寻在敏感度分析的帮助下改进模型的思路与方法。