晶格玻尔兹曼方法对血液流的初步研究

自从1990年基于单弛豫时间近似的晶格玻尔兹曼方法(lattice Boltzmann method，简写为LBM)提出以来，对LBM方法及其应用的研究引起了人们广泛的兴趣，关于LBM及其应用每年一届的国际会议已连续开了十二届。目前LBM已被普遍认为可以作为一种新的流体力学计算方法，而其高效、精确和鲁棒性(robustness)已得到广泛的证实。该模型已被广泛应用于研究湍流、两相流、反应扩散系统、颗粒流和悬浮体等等系统。LBM是一种分立(discrete)统计模型，计算过程中信息传递是局域的，因此并行运算程序关联度很小，各个node之间需要传递的信息量很小，特别适合在PC机群(PC-cluster)甚至Internet网络上进行并行计算。用LBM方法可以在费用比较小的情况下进行较大规模的数值模拟。血液流系统是有代表性的边界特别复杂的生物系统。本文中我们用LBM对该系统的大小动脉内的血液流进行初步探索。我们的工作主要包括以下几个方面： (1) 建立了存在可形变边界的情况下，流体对边界的作用力的精确计算方法。由于在晶格玻尔兹曼方法中，粒子的微观速度是离散的。而且为了提高计算效率和减少复杂性，速度集里速度的个数在满足对称性的条件下尽可能越少越好，一般在二维的情况下也就几个速度，三维情况下十几个速度。如此一来，当边界是与网格主线斜交的直线(三维是平面)或者是曲线(三维是曲面)时，用边界所获得的净动量来计算边界所受到流体的作用力将出现很大的噪音。虽然流体在边界上的作用力在长直边界上的平均是准 确的，但是对局部力的计算的不准确有可能导致可形变边界的形变失控。我 们建立了新的基于压力张量积分的方法来计算流体对边界的作用力，可以很 好地解决这个个问题。我们模拟了单个粒子在流体中的沉降，流体对边界的 作用力分别用压力张量积分法和动量交换法来计算。和有限元的计算结果比 较，用压力张量积分法算得的结果符合得相当精确而用动量交换法算得的粒 子在水平方向的速度符合得不太理想。在Poiseulne流中，当悬浮粒子的直 径和管道直径之比Ds/D>0.2时，悬浮粒子会迁移到偏离中心线的位置，这 个现象叫Segr己一silberberg效应。压力张量积分法能够正确反映该效应而动 量交换法却不能。 (2)建立了用LBM数值模拟包含有红血球的血液在有狭窄的小 血管中流动的二维模型。为了降低复杂性，参照文献【47，48]的做法，这里 红细胞是不可形变的圆柱。狭窄由两个对称的半圆柱构成的鼓包造成。当两 个红细胞或红细胞和鼓包之间的间隙小于或等于一个格子单位时，我们在它 们之间引入了润滑力。通过模拟两个对称的红细胞最后平稳地堵在鼓包之 前，验证了我们的程序的可靠性。计算结果显示，鼓包间隙b存在两个临界 值bco和b。。当bc。丛b三瓦一时，红细胞在经过鼓包时，红细胞和红细胞之间 以及红细胞和鼓包之间可能有强的吸引作用，红细胞在经过鼓包之后有朝血 管壁运动的趋势。而当db。时，其中d是圆柱的直径，这 种强的吸引作用就不出现，经过鼓包之后，红细胞有往血管中心运动的趋势。 这有可能是在二维模型中，血浆不易流进红细胞的间隙造成。考虑到在三维 情况下，刚性颗粒把血管堵塞，血浆还是可以从间隙流过。所以我们用三维 晶格玻尔兹曼方法建立一个准二维模型进行了相同的模拟。让模拟红细胞的 圆柱的深度方向比血管的深度方向短。这样，当红细胞把血管堵住时，流体 还可以从红细胞的两边流过。在准二维的情况下强吸引的作用没有出现。刚 性颗粒的运动也更为光滑。 (3)用晶格玻尔兹曼方法研究红细胞双凹结构的由来和在剪切流 中的形变。红细胞可以看成由一层不可伸长的薄膜包着一团可以自由流动的 流体组成。薄膜在外力作用下具有弯弹性(bending)。我们把二维红细胞膜等 分成很多线段，把相邻线段之间的连接点看成质点。连接点的质量是两相邻 线段的质量的平均，连接点所受流体的作用力是两相邻的线段所受流体作用 力的平均。线段上的边界条件用曲线边界条件，流体作用在边界上的作用力 用压力张量积分法计算。连接点之间受到膜的拉弹性和弯曲弹性的作用。计 算时拉弹性系数取得比较大，足以保持细胞膜近似不可拉伸。开始时浸在流 体中的红_细胞是一个没有拉伸的圆，然后以一定的速率从红细胞的中心抽取 一定比例的流体。圆会逐渐塌缩成红细胞的形状。待红细胞塌缩稳定之后， 我们让上卜边界以相同大小的速度各向右边和左边运动以获得剪切流。当红 细胞内外液体的粘度比是1时，我们看到红细胞在剪切流中作朝向固定的 坦克履带式运动，这与实验结论是一致的。