复杂网络建模及其动力学性质的若干研究

复杂网络近年来受到来自科学与工程各个领域研究者越来越多的关注,成为近年来研究的一个热点。本论文将统计方法、非线性系统理论、控制理论以及矩阵理论等理论和方法应用到复杂网络的研究中,对复杂网络的动力学性质和加权复杂网络的建模两个方面进行了研究。这两方面的研究无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。通过对复杂网络动力学性质的研究,一方面可以使我们更好地了解和解释现实世界中复杂网络所呈现出来的各种动力学现象,如稳定、同步、振荡等;另一方面我们可以将对复杂网络动力学性质研究的理论成果应用到具体问题当中去,如可以设计出具有更好特性的实际网络或使网络处于对我们有利的状态,使得网络理论可以为我们所用。另外,现实世界中很多网络都是各个连接间具有不同权值的加权网络,过去比较多研究的无权网络模型只是对复杂网络的一种近似简化描述,加权网络模型则能够对实际复杂网络的动力学演化特性提供更加真实的细致和全面的描述。因此,对加权网络建模研究的重要意义是显而易见的。 本文的主要主要内容和创新之处可概述如下: 1.关于时延小世界网络的局部稳定性及分岔的研究。 由于信号传输速度有限,以及节点间竞争和通道拥塞等因素,在复杂网络中通常存在时延。我们研究了一个带有时延的小世界网络模型的局部稳定性和Hopf分岔。并用中心流形定理和正规型理论确定了分岔周期解的稳定性和分岔方向。对小世界网络的分岔现象研究的意义在于:一方面,由于Hopf分岔和振荡现象密切相关,对小世界网络Hopf分岔的研究可以使我们更好地解释现实世界中的许多小世界网络,如Internet、电网、生物神经网络中发生的对参数敏感的现象;另一方面,若能深入地了解小世界网络中的分岔现象及其规律,则通过利用比较成熟的分岔控制理论和方法,我们就可将现实世界中的小世界网络控制到所期望的有利的状态中去。