分数阶微积分在现代信号分析与处理中应用的研究

本文的主要研究是对分数阶微积分在现代信号分析与处理中的应用进行研究。 首先,系统地论述了连续子波变换数值实现中尺度采样间隔的确定的基本理论。按照信号的最高数字频率等于或小于π的两种情况,论证了均匀点格采样时连续子波变换数值实现中Morlet母波以及偶对称或奇对称的各阶高斯函数导数解析母波的尺度采样间隔的最佳取值,并且特别分析了著名的墨西哥帽母波的尺度采样间隔的最佳取值;另外还讨论了奇对称母波数值实现中同时所需的时间平移量;另外还研究了偶对称或奇对称的各阶高斯函数导数解析母波的相应数字滤波器的波动情况,对其波动性进行了研究;最后对连续子波变换数值实现中均匀点格采样的研究结论推广到二进点格采样和二进抽取采样两种情况。系统地论述了连续子波变换数值实现中信号时间和扫描时间之间的几何关系;论述了连续子波变换数值实现中起始扫描时间的最佳取值范围。 第二,推导并研究信号分数阶微积分的五种数值算法实现算法。首先推导并比较信号分数阶微分的幂级数数值算法、Fourier级数数值算法,并将这两种算法与经典的基于Grümwald-Letnikov定义的数值算法相比较;进而,推导具有较高精度和计算速度的基于子波变换的分数阶微积分快速数值算法;最后,以计算精度为代价进一步提高计算速度,推导基于子波变换的快速工程算法。