细分曲面生成及其在曲面造型中的应用研究

近二十年来，随着三维数据采样设备的长足进步与复杂拓扑结构的曲面造型日益普及，细分曲面已成为计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机图形学（CG）领域内的一个国际性研究热点。然而由于大多数细分算法不考虑极限曲面收敛到用户指定的某些位置参数，细分曲面的应用始终只能局限在计算机动画和工艺品设计，无法越雷池半步，应用到对曲面有定位约束要求的反求工程中，参与精密机械设计与医学图象重建。 正是为了改变这种困惑与被动的局面，本文作者致力于能插值一系列给定曲线并产生尖锐特征的细分曲面生成原理及其在曲面造型设计中的应用性研究，取得了富有实际应用价值的理论成果及算法，本文就是这一研究的总结。其内容主要包括：基于Catmull-Clark细分算法构造满足曲线插值约束的细分曲面的方法，被插值曲线为均匀B样条曲线；基于非均匀有理Catmull-Clark细分算法构造能够插值NURBS曲线的细分曲面的方法；细分曲面上尖锐特征的生成方法；细分方法在曲面设计的传统方法—蒙皮法—中的应用等。 作者首先回顾了曲线曲面造型的分类及其发展历史，然后着重对细分曲面的起源、研究历史和近年来在细分造型领域内的多方面国际研究成果及其应用作出系统的评述。 插值已知曲线是曲面造型中的一个重要追求目标或手段。因此，作者给出了一类新的细分曲面造型方法，该方法保持了Catmull-Clark细分曲面的原功能，但增加了插值若干条已知B样条曲线的新功能，克服了Catmull-Clark细分方法的局限，拓宽了Catmull-Clark细分方法的应用范围，为细分曲面从动画制作和艺术造型走向机械产品设计的应用闯出了新路。该方法的主要创新思想是，在被插值曲线的控制多边形两侧构造具有简单对称性质的多边形网格，而在细分过程中，则无须修改被插值曲线附近的细分规则，凶此细分算法是简单的，细分过程是收敛的，且最终的插值曲面除有限个点外是C2连续的。被插值曲线可以是单条均匀B样条曲线，也可以是多条相交均匀B样条曲线。 由于NURBS曲线比均匀B样条曲线具有更为强大的形状表示能力， 浙江大学博士学位论文 因此作者通过改造Sederberg等提出的非均匀有理Catmull一Clark曲面（简称 NuRcc）生成方法，给出了非均匀细分曲面造型新方法.该方法保持了 NURCC细分曲面可调节连续阶的原功能，但增加了插值若干条已知 NURBS曲线的新功能，且实现起来十分简单直观.该方法的主要创新思 想是在被插值曲线的控制多边形两侧构造具有简单对称性质的四边形网 格，称为对称网格带，但关键还在于对网格边赋予适当的节点距，并对由 这些对称网格带组成的初始控制网格应用非均匀有理Catmull一Clark细分 规则，来生成满足插值要求的曲面.利用非均匀的Catmull一Clark细分方法， 我们可以构造能够插值若干条NURBS曲线、且具有不同的局部连续阶的 细分曲面，使得细分曲面走向各种复杂工业产品造型设计的应用领域成为 可能. 作者从网格的拓扑结构的角度提出一种新的在细分曲面上生成尖锐 特征的方法，即通过修改被标记为特征的网格点或网格边的邻近网格的结 构，使其具有如前所述的对称性质，从而使得细分极限曲面具有我们指定 的特殊效果.应用该方法可以在细分曲面上构造诸如折痕、尖点、锥点和 角点等多种尖锐特征，其中锥点等尖锐特征是目前各种细分方法所无法得 到的.因此，使细分曲面在工业产品的外形设计和计算机动画等领域可以 得到更为普遍的应用. 由于在传统的蒙皮曲面的构造过程中，由截面曲线相容性处理而导致 的节点和控制顶点数量增多，使得计算量大幅度增加，作者将细分曲面引 入蒙皮法，生成的蒙皮曲面称为细分蒙皮曲面.由于细分方法能够在任意 网格上生成光滑曲面，因此无需对截面曲线进行相容性处理，从而可以有 效避免因相容性处理而产生的数据量激增的问题.非但如此，将细分曲面 引入蒙皮法的第二个好处是最后生成的蒙皮曲面能够精确插值预先设计 的截面曲线，且曲面可以在指定的截面曲线处生成折痕特征. 本文成果使得细分曲面不仅能够用于动画、人物等具有一定随意性的 形体设计，还可用于有精确插值要求和带有某些尖锐特征的工业产品的外 形设计.这都将对细分曲面在曲面造型领域的发展起到很好的推动作用.