拟蒙特卡洛方法在高维度、非线性金融问题中的新进展

金融中的许多问题无法显式求解,故不得不借助蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)方法或者拟蒙特卡洛(quasi-Monte Carlo,QMC)方法。QMC方法作为一个重要的数值计算工具,能够达到比MC方法更高的收敛阶。然而,QMC的效率严重依赖于问题的维数和间断结构。已有许多研究致力于处理接近线性的金融问题中的高维度和间断结构。但是对于非线性程度较高的金融问题,适用的方法则很少,因而是QMC方法在金融领域面临的重大挑战。本论文将展示在非线性程度较高的金融问题中,如何克服高维度和间断这两个影响QMC效率的障碍。首先,本文提出一种一般的降维方法—基于聚类分析的降维方法(the clustering analysis based QR method,CQR)。该方法旨在降低目标函数的有效维数,使得QMC点列在若干初始维度的均匀性可以被充分利用。该降维方法首次将机器学习的思想引入到QMC领域。该方法使用k均值聚类算法(k means clustering algorithm),选择目标函数中具有代表性的线性结构,用它们构造目标函数的匹配函数,然后针对匹配函数实施有效的降维策略。房地产抵押债券的定价问题一直是QMC应用的挑战。本文用该模型来测试CQR方法对QMC精度的改进效果,数值结果表明该方法在处理金融问题的高维度方面有效且稳定。受Wang和Tan[1]工作的启发,本文提出一种间断面的自动调整方法(autorealignment method)来处理较为复杂的间断型函数。间断结构在期权定价及对冲问题中很常见,对QMC方法的精确性有重大影响。聚类算法可用于选取间断面上具有代表性的法向量来刻画间断结构的特征。基于这些自动识别的信息来调整间断面,目标函数的间断面可转化为“QMC友好型”。数值结果证实了间断面自动调整方法可以显著提高QMC方法的效率。本文还设计了一种同时处理目标函数高维度和间断结构的两步骤方法,即光滑化QMC-CQR方法。第一步,采用合适的光滑化技术移除目标函数的间断点,以提高其光滑性。第二步,使用CQR方法对新目标函数进行降维。大量奇异期权定价及希腊字母估计的数值结果证实了,相较单独处理问题的高维度或间断结构,把光滑化技术和降维方法结合起来可以更为显著地改进QMC方法的效率。本文提出的CQR方法、间断结构的自动调整方法和光滑化QMC-CQR方法对复杂模型如L′evy过程同样适用且成效显著。