流形上参数曲面的理论与方法

几何造型技术是现代工业产品设计与制造的核心技术之一，而参数曲线曲面的设计作为其主要组成部分，一直在计算机辅助设计领域占有重要地位。 九十年代以来，NURBS曲线曲面已经成为计算机辅助设计系统的表示标准，由于NURBS曲面定义在矩形域上，难以直接用一张NURBS曲面来整体表示复杂曲面，需要采用分片构造的方法才能达到目的，使得拼接边界处的光滑性也受到了严重限制。为克服NURBS的缺点，十年来，先后出现了很多新的设计方法，如三角域NURBS、T样条、G样条和有理高斯曲面等。遗憾的是，这些方法要么构造方法非常复杂而无法实际应用，要么无法精确表示物体而不能用于机械零件设计。 本文提出了一套全新的曲线曲面理论体系，称为广义有理参数曲线曲面(Generalized Rational Parametric Curve and Surface)。广义有理参数曲线曲面定义在与控制网格拓扑同胚的微分流形上，以高度一般的势函数为基函数，其控制网格可以是任意的一维拓扑流形和二维可定向拓扑流形。广义有理参数曲线曲面是NURBS表示形式的一种推广，很好地克服了NURBS的各种缺点。其基本思想是首先建立物体的拓扑信息，然后加载几何信息来构造曲面，整个构造过程类似于将与控制网格拓扑同胚的微分流形经控制顶点拉伸后进行弹性形变。 本文首先讨论了广义有理参数曲线曲面的理论基础，依次阐述了黎曼几何中关于流形、函数和映射的基本概念，并在此基础上提出了微分流形上势函数的定义。然后通过势函数来构造微分流形上的单位分解，将曲线曲面看作微分流形到拓扑流形的映射，给出了广义有理参数曲线曲面的整体理论框架，并对广义有理参数曲线曲面的基本性质进行了讨论。广义有理参数曲线曲面在表示形式和计算方法上具有高度的统一性，它不仅继承了NURBS的很多优良性质，比如局部控制性、凸包性、仿射和投影不变性等，而且可以直接表示裁剪曲面和闭合的曲线曲面。 然后，本文分别对广义有理参数曲线和广义有理参数曲面进行了深入的研究。对于广义有理参数曲线，我们在第三章中对它的基函数设计、参数化方法、 浙江大学博士学位论文 局部控制和局部特征设计等各个构造和设计环节进行了详细的讨论，并提出了新 的二次曲线的精确构造方法。最后应用广义有理参数曲线对散乱数据进行插值拟 合，它可以通过调整基函数的支撑域来优化方程的系数矩阵，因此提供了更高的 数值稳定性。 对于广义有理参数曲面，根据控制网格的拓扑结构，我们分成两种情况来考 虑。对于具有简单拓扑结构，存在着一致的全局参数化的控制网格，我们将把控 制网格直接映射到微分流形上，因此可以很容易地对曲面进行构造和控制。我们 在第四章详细讨论了这种广义有理参数曲面的性质及其构造方法。然后，在第五 章中，我们将控制网格进一步推广到任意可定向二维拓扑流形，提出了一个通用 的方法将控制网格映射到与之拓扑同胚的微分流形上，统一了广义有理参数曲线 曲面的构造过程。广义有理参数曲面可以进行精确控制，不仅易于表示局部特征， 还提供了更多的方法来精确生成三维图元。最后，我们给出了相应的实现方法和 试验结果，并指出了进一步的研究工作。 广义有理参数参数曲线曲面不仅能应用于动画和图形学领域，而且能广泛应 用于各种工业设计领域，对计算机辅助设计的发展有着重要的学术意义和应用价 值。