解非线性病态方程组的一种修正Newton法及其应用

求解非线性方程组的阻尼Newton法不仅具有快速收敛的特点，而且有全局收敛性。但是，当方程组病态时，由于Newtow方向与通常的水平函数的最速下降方向近似正交，此时水平函数的下降非常缓慢，从而导致线性搜索产生的步长很小，使算法的效率降低。克服这一困难的一种有效途经是用所谓的自然水平函数取代通常的水平函数作线性搜索。此时Newton方向是自然水平函数的最速下降方向。因此，利用自然水平函数进行搜索，可以增大算法的步长，达到提高算法效率的目的。然而，采用自然水平函数修正后的阻尼Newton法也存在严重不足。由于迭代过程中自然水平函数每步都发生变化，算法通常的下降性质得不到保证。因而，迄今为止，尚未建立该类算法的收敛性理论。本文充分利用自然水平函数的优点，在此基础上对阻尼Newton法进行改进，使效益函数具有单调下降性。在适当的条件下，我们证明了算法的全局收敛性和超线性收敛性。此外，本文将该思想与光滑化Newton法相结合，得到求解非线性互补问题的一个新算法，将自然水平函数的应用推广到更为广阔的领域。在一定的条件下，我们证明了这一算法的全局收敛牲与超线性收敛性。数值计算结果表明，我们的算法对普通非线性方程组有良好效果，但优势在求解病态方程组时表现得更为明显，是解非线性方程组一种行之有效的方法。