多尺度计算方法的初探及应用

科学和工程中的许多问题都涉及多种尺度。对于多尺度问题,由于其巨大的计算量使得传统的数值方法难以直接求解,因此人们希望找到既能节省计算时间又可以保持计算精度的多尺度计算方法,以求解多尺度问题。目前为止,已经有一些经典的多尺度计算方法,如多重网格方法、均匀化方法、小波数值均匀化方法、多尺度有限元法、非均匀化多尺度方法等,这些方法在很多科学和工程领域中的应用已取得了一定的成功。本文对均匀化方法、非均匀化多尺度方法以及小波数值均匀化方法进行了研究,主要研究结果如下: (1) 基于非均匀化多尺度方法的框架,提出了有限体积的非均匀化多尺度方法,并将其用于求解多尺度双曲型方程。该方法分别在宏观尺度和细观尺度上建立原方程的差分格式,通过不同尺度间的耦合有效地减小了计算所需代价。计算结果表明:有限体积的非均匀化多尺度方法能有效地求解周期系数及非周期系数的一些多尺度问题,且与直接求解的有限体积法相比较,有限体积的非均匀化多尺度方法大大节省了计算时间。 (2) 把小波数值均匀化方法用于求解快速振荡系数的抛物型方程。小波数值均匀化方法已经成功地用于求解椭圆型方程,而对抛物型方程的应用仍未见报道。本文把小波数值均匀化方法用于求解快速振荡系数的抛物型方程,计算结果表明:与传统的有限差分法相比,小波数值均匀化方法既大大地节省了计算时间又获得了较好的精度。 (3) 改进了小波数值均匀化方法,并用于求解非均质多孔介质中的渗流问题。该方法通过误差校正来进一步提高算法的精度。计算结果表明:与传统的有限差分法比较,改进的小波数值均匀化方法既大大地节省了计算量又获得了较好的精度;且与小波数值均匀化方法相比,改进的方法进一步提高了计算精度。 (4) 将小波数值均匀化方法用于模拟地下水流问题。自然界中的地下水含水系统大多都是非均质的,把小波数值均匀化方法用于非均质多孔介质中的非稳定地下水流问题。对水文地质参数连续变化、突变以及局部振荡变化的三种非均质多孔介质中的二维非稳定地下水流问题的求解表明:小波数值均匀化方法比传统的有限差分法有效,它既大大地节省了计算量又获得了较好的精度,是求解地下水流问题的一种有效的数值均匀化方法。