高阶矢量有限元方法在电磁领域中的研究及应用

有限元法由于具有处理不均匀媒质和复杂几何体的能力,在电磁计算领域得到了广泛的研究与应用。如何构造基函数及提高其收敛速度,是有限元发展的一个重要方向。本文的研究工作是高阶矢量有限元方法研究及其在电磁本征值和散射问题中的应用。主要包括四个部分: 本文第一部分系统研究了各种高阶插值、叠层矢量元的构建、单元矩阵求解与性能比较。采用将Nedelec条件和完整多项式形式结合的方法,系统分析了H1(curl)四面体矢量元的Nedelec函数空间,验证了各矢量元与Nedelec函数空间的关系。基于基函数分类和单元矩阵分块技术,完整给出了高阶矢量元单元矩阵的计算公式,显式给出了积分系数矩阵的计算结果。系统比较了各种矢量元的性能(如计算精度、条件数、面元选择性等)。该分析方法可有效地推广到任意形式、更高阶矢量基的分析。 本文第二部分系统研究了各种高阶插值、叠层、曲线矢量元的实现过程及其关键问题。采用基函数分类技术,提出了一种新型的针对高阶插值矢量元编程的全局编码方法,实现了单元矩阵的高效组合。针对叠层矢量元允许不同阶次基函数混合的特点,研究了基于混合阶矢量元的选择性场展开技术,提出了一种新型的针对混合阶矢量元编程的全局编码方法。同时,系统研究了曲线矢量元的实现过程,分析了实现过程中的关键问题及相关细节。 本文第三部分系统研究了稀疏矩阵存储和快速求解技术。针对有限元(FEM)矩阵稀疏的特点,验证了高阶矢量元矩阵具有随机稀疏结构的特点,并采用合适的变带宽存储技术实现了FEM矩阵的高效稀疏存储。针对有限元矩阵非零元素分布不规则的缺点,采用RCM技术对矩阵元素进行重排序,从而压缩了矩阵带宽。研究了基于稀疏矩阵技术的(直接法、迭代法)快速求解和预处理技术。 本文第四部分研究了高阶矢量元在电磁本征值问题、电磁散射问题中的应用。系统研究了基于不同求解技术的ARPACK本征值求解器的性能,并将其用于分析各种复杂腔体的谐振问题。采用二阶矢量元结合Webb-Kaneliopoulos吸收边界条件分析了三维电磁散射问题。 通过以上四部分,本文对基于高阶矢量元的有限元方法进行了深入而系统的研究,并验证了高阶矢量基函数的优势。本文工作表明高阶矢量有限元方法具有解决工程电磁场问题的优势和潜力,必将在未来研究工作中得到广泛使用。