有限元模拟及有限元方程的快速解技术在电磁场中的应用

有限元技术是模拟具有不规则边界结构的强有力的工具，在这里我们用有限元模拟一些经典的电磁问题，这些问题都不能用常规方法求解。在本文里，我们用有限元技术模拟波导，微带等具有开边界条件的一些典型的结构，最后，我们得到了一个复数的超大规模的稀疏非正定线性方程组，而且这种矩阵的条件数很差。由于上述特点，用直接解法往往没有办法求解，甚至就是用一些常规的迭代法求解也很困难。在这里，我们重点考虑了用不完全分解预处理技术结合共轭梯度迭代法求解此类型的大型非Hermit有限元方程。由于矩阵的病态性，标准的不完全分解法往往会失效，因为在不完全分解的过程中会在对角线的位置出现零元素从而导致分解失败，或者分解出来的三角矩阵不稳定，从而根本无法用于有限元方程的迭代求解。在这里我们在不完全分解(ILU)进行以前对系数矩阵加一个对角扰动，使得系数矩阵的实部更加正定，从而三角分解算法更为稳定，分解出来的预处理矩阵从而也更为的稳定。我们的主要目的是估计对角扰动的不完全分解预处理用于求解由有限元离散Helmhotz阵所得到的高阶非正定矩阵的效率。在这里，我们也考虑：并且比较了其他的一些常用的预处理技术。我们对一些从工业与学术中分离出来的模型问题进行了有限元模拟，数值结果显示，由于预处理技术的应用，特别是不完全分解预处理的应用，极大的减少了迭代的步数。并且，我们的不完全分解预处理技术比标准的不完全分解预处理更为稳定。