自适应有限元网格生成算法研究与应用

有限单元法(Finite Element Methods，FEM)是当今最成熟、应用最广泛的一种数值分析方法。然而面对越来越复杂的工程与科学问题，有限元法还经常显得力不从心，限制其发挥更大作用的一个重要因素是网格生成问题。网格生成是计算机辅助工程(Computer Aided Engineering，CAE)的共性支撑技术之一，全自动高质量网格生成方法研究一直是CAE领域的研究热点。 本文研究、改进和实现了自适应三角形和四面体网格生成方法。包括基于黎曼度量的二维自适应三角形网格生成方法、三维复杂组合曲面的自适应网格生成方法以及三维四面体自适应网格生成方法。本文还介绍并实现了网格剖分程序和多种CAD软件通信的B-Rep接口、基于拓扑连接的数据结构以及和剖分程序密切相关的点的定位查找算法。具体来说，本文是从以下几个方面展开论述的： 首先是绪论部分，主要介绍了国内外有限元网格研究的现状和发展的方向。随后介绍了本文提出的有限网格生成模块与多种造型软件通信的接口，以及有限元网格生成的整体框架。给出了一种有限元网格生成的公共几何接口，这个接口把不同造型软件的对模型几何和拓扑信息的描述的差异性进行封装，以统一的形式提供给剖分程序使用。采用简化的边界描述法(Boundary Representations，B-Rep)来组织模型的几何和拓扑信息，减少了剖分程序实现的复杂性，提高了剖分算法的可复用性。给出了网格生成的一般框架，使得扩展功能后的算法更容易成为现有框架的一部分，以相同的方式为网格剖分算法提供新的服务。 第3章是网格生成算法的数据结构部分，介绍了基于拓扑连接的网格数据结构。传统的节点-单元这种紧凑型表达虽然简单而且能满足某些应用，但是由于其缺少必要的拓扑连接信息，因而在诸如网格优化、自适应等程序实现中是非常复杂的，因为这些程序需要用到连接信息的时候不得不重新建立连接信息表，这就增加了这些应用程序实现的复杂性。该部分针对面剖分和体剖分两种常用的应用，给出并实现了基于拓扑连接的数据结构，这一数据结构广泛应用到本文的网格剖分和优化过程中。 第4章介绍二维复杂域的自适应有限元网格生成。工程中很多实际问题都可以用二维有限元网格来模拟。另外，三维参数曲面的自适应网格生成也是首先在其二维的参数域上生成网格，然后投影到参数曲面的三维物理域上。本章研究和实现了基于黎曼度量的二维自适应网格生成算法：对在黎曼空间下网格剖分中常用的数值计算方法进行了总结；介绍了用来描述单元尺寸和形状信息的四叉树背景网格的建立和平衡过程；给出了基于平衡四叉树的梯度黎曼度量场的建立算法；对基于黎曼度量的二维自适应波前推进算法和基于二分的二维自适应网格生成算法给出了详细实现步骤。本文的二维自适应网格生成方法不但能够生成各向同性的有限元网格，而且能够生成各向异性的有限元网格，从而满足流体动力学分析的需要。 第5章将上述二维自适有限元网格生成算法和基于拓扑连接的数据结构应用于金属破坏过程的模拟。这个部分主要介绍了在实现过程中所遇到的一些问题，给出了一些解决方法，包括新旧网格间状态变量的转换：相交边界线段快速侦测和修复以及非流网格的删除等。 第6章给出了三维空间的黎曼度量和曲面自身的黎曼度量相结合的三维复杂参数曲面自适应网格生成的改进波前推进算法。针对周期性曲面的特殊性，提出了三维参数曲面的迁移波前推进算法，有效避免了由于虚边界而导致的网格质量变差的问题。详细阐述了曲面参数域上任意一点的黎曼度量的计算和插值方法；提出按层推进和按最短边推进相结合的方法，在保证边界网格质量的同时，提高曲面内部网格的质量。算例表明，该算法对复杂曲面能够生成高质量的网格，而且整个算法具有很高的效率和可靠性。 第7章将基于几何和拓扑的网格剖分框架和三维组合曲面自适应有限元网格生成算法应用于金属冲压过程模拟。在金属冲压成形模拟中附加面及其有限元网格的生成是模拟的关键步骤之一。这个部分主要介绍了附加面的生成，B-Rep模型的构建以及有组合冲压件和附加面构成的组合曲面的有限元网格生成。 第8章针对三维四面体推进波前算法(AFT-Advancing Front Technique)存在的效率与收敛性问题，提出了一整套改进方案。基于拓扑连接的网格数据结构使用大大提高了整个算法的效率。通过在网格生成过程中动态维护前沿的尺寸信息，提高四面体单元的整体质量。在内核回退时通过引入前沿优先因子，改变前沿推进的路径，大大增加了成功回退的概率；对于极少数不能回退的内核采用基于线性规划的插点方法加以解决，这样就保证了整个算法的收敛性。在网格生成以后，通过删除不必要的内部节点、合并相关四面体单元以及对所有内部节点进行基于角度的优化，从而进一步有效地提高了网格质量。数值算例表明，本文实现的三维四面体推进波前算法的改进算法具有接近线性的时间复杂度，生成网格质量好。 第9章介绍了作者在全六面体网格生成方面研究和实现的成果。以四面体-六面体基本转换模板为基础，提出了一系列具有伸缩性的扩展转换模板，可将四面体分解为不同数量、不同密度过渡形式的的六面体单元；提出了基于几何造型的边界节点坐标修正方法，使边界网格能够更好地拟合几何模型边界，给出了基于转换模板的三维实体全六面体网格生成的算法流程和剖分算例。 文章最后的第10章介绍了本文提出的改进的可回退的点定位搜索算法，在这个算法有效避免了搜索路径的环的形成，使得算法不但能够应用到二维的单连通凸域，而且可以运用到三维任意复杂域的凸多边形剖分中。在不损失效率的前提下提高了算法的应用范围。