非线性规划中的精确罚函数

约束非线性规划问题广泛见于工程、国防、经济等许多重要领域。求解约束非线性规划问题的主要方法之一是把它化成无约束非线性规划问题，而罚函数方法和拉格朗日对偶方法是将约束规划问题无约束化的两种主要方法。罚函数方法通过求解一个或多个罚问题来得到约束规划问题的解。如果罚问题的极小点是原约束规划问题的极小点，则称此罚问题中的罚函数为精确罚函数。本文研究了l1精确罚函数的全局精确罚性质及其光滑化，低次罚函数的局部、全局精确罚性质，低次罚函数的光滑化，K-calm条件与精确罚性质的关系，以及整数规划中的精确罚函数。 本文结构安排如下。第一章，我们简要介绍了目前国内外关于精确罚函数的研究工作。第二章，我们研究了l1精确罚函数的全局精确罚性质及其光滑化。在1．目标函数满足强制性条件；2．原约束非线性规划问题只有有限个全局极小点；3．原约束非线性规划问题在其任何全局极小点处都满足KKT二阶充分条件的假设下，我们给出了l1精确罚函数的全局精确罚性质，即当罚参数充分大时，原约束非线性规划问题的全局极小点集与l1罚问题的全局极小点集相同。由于l1精确罚函数的不可微性，一般不能直接采取利用导数的最优化方法去求解l1罚问题。为了克服这一缺陷，我们给出了l1精确罚函数的一种二次函数光滑逼近，并证明了如果在可行域的拟内部至少存在一个原问题的全局极小点，那么当罚参数充分大时，任何光滑后的罚问题的全局极小点一定是原问题的全局极小点。如果原问题可行域是拟强壮集，那么当罚参数充分大时，任何光滑后的罚问题的全局极小点一定是原问题的可行近似全局极小点，且近似程度可以预先给定。我们给出的数值例子说明通过解光滑化后的罚问题以求解原问题的方法是切实可行的。第三章，我们首先引进低次罚函数。在KKT二阶充分条件成立下，我们得出低次罚函数的局部精确罚性质，即任何原问题的满足KKT二阶充分条件的局部极小点都是低次罚函数的严格局部极小点，而且这里的罚参数可以取任何正数。然后，在上述第二章的三个假设下，我们得出了低次罚函数的全局精确罚性质，即当罚参数充分大时，原约束非线性规划问题的全局极小点集与低次罚问题的全局极小点集相同。由于低次罚函数同l1精确罚函数一样具有不可微性，我们接下来给出了关于低次罚函数的一个二次函数光滑逼近，并得到了与上述第二章中对l1精确罚函数进行光滑逼近所得到的相关结论相类似的结果。第四章，我们首先给出了原问题在一点的k-calm条件的定义，并给出了原问题局部极小点满足k-calm条件的充要条件。接着，引入了原问题的摄动问题在（0，0）∈Rm×Rl的k-calm条件的定义，这里m，l分别表示原规划问题的不等式约束及等式约束的个 数，并证明了原问题在任何全局极小点都满足k一calm条件当且仅当原问题的摄动问 题在（0，0）任Rm xRI满足k一calm条件.我们证明了对任何给定的k。>0，如果存在 满足无>k。的k，使得原规划问题在x*是k一calm的，那么对任何罚参数q>0，x*都是 罚问题minxox猎。（x）(参见（’. 3.2）)的局部极小点此外，我们还证明了原问题的摄 动问题在（0，0）任Rm xR“是k一calm的，当且仅当存在q。>0，使得当q>q。时，原问 题与罚问题min二。x玲（二）(参见（a. 3.2）)的全局极小点集相同·最后，我们给出了精 确罚函数砰（x）(参见（4.3.1）)的二次光滑逼近，从而得到了光滑罚问题，并证明了当 罚参数q充分大时，该光滑罚问题的全局极小点是原问题的近似全局极小点，且近 似程度可以预先给定.第五章，我们考虑整数规划中的精确罚函数.首先我们讨论 了一种对数一指数非线性函数的渐近强对偶性及精确罚性质，指出不需要进行对偶搜 索，而可以通过精确罚来解原规划问题.然后我们讨论了另一种对数一指数非线性函 数的精确罚性质，并由精确罚性质得到了渐近强对偶性.接着我们讨论了含两个参 数的几种光滑精确罚函数.最后，我们给出了整数规划中精确罚函数的一般形式.