几类随机数值方法的稳定性与收敛性

随机微分方程(SDES)广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域.很长时间以来,由于缺乏有效的求解SDES的数值方法以及充足的计算机资源,使得在建立描述物理现象的数学模型时都忽略了随机的因素.近年来,在SDES数值解方面已取得一定的成果,这意味着某些随机模型可以借助于计算机进行研究. 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质,其中给出了解的存在唯一性定理及其矩性质,对于线性随机微分方程,给出了解的解析表达式.由于随机系统的复杂性,一般情况很难得到方程理论解的解析表达式.这样一来,数值方法的构造显得尤为重要.与常微分方程(ODES)领域相比较,对SDES数值解的研究还远远不够.由于随机系统自身的特殊性质,使得不可能将ODES中的数值方法简单地平移到SDES中.相反地,为了构造有效的数值方法,要详实地分析其收敛性、稳定性、误差传递等性质. Euler方法是求解SDES的数值方法中最简单的一种方法.对于两种特殊情形,即乘性(multiplicative)噪声和加性(additive)噪声,本文证明了当方程的偏移系数和扩散系数均满足线性增长条件和Lipschitz条件时,方法的收敛阶分别为0.5和1.0. 随机情形的泰勒展式可以通过结合ODES中的泰勒展式和Ito法则来获得,并可将其用于构造求解SDES的数值方法.例如,本文中的三种Milstein方法就是截取泰勒展式的前四项.给出乘性噪声和加性噪声两种情形的试验方程后,本文讨论了Milstein方法的A-稳定性、均方稳定性、T-稳定性.当试验方程中的参数为实数时,给出了均方稳定域.另外,本文还证明了数值方法的T-稳定性与渐近稳定性是等价的. 最后,就求解随机微分方程的两种弱数值方法,即弱Euler法和弱Milstein方法,给出了方法的收敛性定理.并讨论了弱Milstein方法的M-稳定性、均方稳定性和T-稳定性,其中均方稳定性和T-稳定性沿用了强解中的定义,而M-稳定性则是基于一种新型的试验方程进行讨论的.