广义内插小波和递归内插小波理论及应用的研究

小波分析和应用是信号处理领域一个正在迅速发展的新兴学科，经过十 多年的探索研究，重要的数学基础和理论框架已经建立。随着基本理论的日 益完善、应用的广泛深入，具有良好综合性能指标的小波系统设计和“面向 对象”的自适应小波方法成为当前小波研究的两个热点。作为一种重要的小 波类型，内插小波已在一些领域得到了成功应用；但还有许多理论基础、应 用潜能需要进一步完善和开发。本文正是在这一背景下对内插小波的推广、 优化设计和自适应方法进行了深入系统的研究。 本文工作主要包括以下三个方面：1．具有紧支撑对偶的双正交内插小波 ---广义内插小波的构造。2．广义内插小波系统的正则度、冗余度等性能指标 的优化设计。3．递归内插小波、递归内插小波包系统的构造以及自适应内插 小波方法的研究。 针对已有内插小波系统的不足，第三章构造了一类新型的紧支撑内插小 波---广义内插小波。与传统的内插小波系统相比，它是一种具有紧支撑对偶 的双正交小波系统，由一对插值滤波器完全确定；因此，在设计上具有很大 的灵活性。并对其消失矩性质（包括内插小波的消失矩以及对偶的消失矩）和 分解、综合算法进行了分析和描述。 第四章研究了一般插值滤波器与局部加权最小二乘多项式拟合、 Deslaurier-Dubuc插值滤波器之间的关系并给出了一般插值滤波器的参数表 达式，它是本文后续各章工作的一个重要基础。最后，研究了这类小波系统 边界滤波器的选择准则并给出了三种典型的边界处理模式。 正则度和冗余度是小波系统的两个重要性能指标，是影响系统去噪、压 缩性能的重要因素。把优化方法与广义内插小波的参数化相接合，第五、六 章分别研究了正则度、冗余度的优化设计。内插尺度函数正则度的增加有效 提高了系统的逼近能力，对偶正则度的提高显著增加了对偶尺度函数、对偶 小波的光滑性，改善了分析滤波器组的通带、阻带特性。冗余度在一定意义 下制约了小波系统的压缩性能。内插小波是否能够成功应用于数据压缩、图 象压缩领域，很大程度上取决于能否设计小冗余度的内插小波系统。以广义 内插小波设计上的灵活性为基础，我们首先设计了一种层间具有很小冗余的 几乎半正交内插小波；然后通过局部正交化方法得到了一类几乎正交的内插 小波系统。实验结果表明：优化设计后的系统在去噪、压缩性能上有明显的 改善，并优于具有相同消失矩的正交小波。这归因于优化内插小波系统冗余 二 度、正则度等综合指标的提高。这可能是小波发展的一种趋势，即随着应用 的深入，小波系统综合性能指标比某一方面数学上的完美性更为重要。 第七、八两章研究了自适应内插小波、小波包理论。首先，构造了具有 结构参数向量的递归双正交内插小波系统。这样的小波系统可以逐层自适应 的选择内插滤波器对，能够很好的适合于多尺度信号的分析。更重要的是： 不同于传统的自适应小波方法，简单的参数结构导致了快速、有效的自适应 算法。在递归双正交内插小波的基础上，构造了递归双正交内插小波包系统。 并且，把分解的逐层参数自适应与信号频带自适应分割相结合，提出了一种 新型的自适应小波包分解算法一参数、结构自适应小波包分解。这样，可以 获得更为紧凑的信号表示，系统的压缩性能得到了明显的提高。